9. Euklides

9. EUKLIDES



Wstęp



Euklides z Aleksandrii, starogr. Εὐκλείδης, Eukleides, ur. ok. 365 r. p.n.e., zm. ok. 300 r. p.n.e. Matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii. Autor jednych z pierwszych prac teoretycznych z matematyki. Główne jego dzieło to Elementy (tytuł grecki Stoicheia geometrias). Są one syntezą ówczesnej wiedzy matematycznej zarówno w dziedzinie geometrii, jak i w teorii liczb. Elementy są pierwszą próbą aksjomatycznego ujęcia geometrii i były podstawowym podręcznikiem geometrii do XIX wieku. Elementy były bardzo poczytne – przetłumaczono je na olbrzymią liczbę języków, zaś liczbą wydań ustępują jedynie Biblii. Euklides usystematyzował ówczesną wiedzę matematyczną w postaci aksjomatycznego wykładu; zachowały się też dzieła z geometrii, optyki (m.in. prawo odbicia światła), astronomii, teorii muzyki. Dostępne jest tłumaczenie pierwszych ośmiu ksiąg z 1817 dokonane przez Józefa Czecha na język polski napisane językiem staropolskim. Jako pierwszy Euklides około 300 roku p.n.e. postawił hipotezę, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych p takich, że p+2 jest również liczbą pierwszą”.

Nasze rozważania zacznijmy od prostej uwagi, z której wyprowadzimy definicję liczb bliźniaczych. Zauważmy, że na to, żeby liczba pierwsza p była liczbą pierwszą bliźniaczą wystarczy, żeby liczba p+2 była również liczbą pierwszą. Wtedy to zarówno jedna, jak i druga jest liczbą pierwszą bliźniaczą. Tzn. że jeśli dla danej liczby pierwszej p liczba p+2 nie jest liczbą pierwszą, to niekoniecznie musi być tak, że liczba p nie jest liczbą pierwszą bliźniaczą. Może być bowiem tak, że liczba p-2 jest pierwsza. Innymi słowy: liczba pierwsza p jest liczbą pierwszą bliźniaczą wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z liczb p+2 i p-2 również jest liczbą pierwszą.

Definicja liczby pierwszej bliźniaczej
Liczbą pierwszą bliźniaczą (lpB) nazywamy taką liczbę pierwszą p, dla której co najmniej jedna z liczb p-2 i p+2 również jest liczbą pierwszą.

Ta niezwykle oczywista uwaga okaże się nam przydatna w dalszej pracy. Postawmy tak dla formalności twierdzenie i zapoznajmy się z planem jego dowodu:

Twierdzenie o liczbach pierwszych bliźniaczych
Liczb pierwszych bliźniaczych jest nieskończenie wiele.


Plan jest następujący:
  1. Wykorzystamy dotychczasową wiedzę i na podstawie zdobytych umiejętności wyprowadzimy funkcję, której zbiorem wartości jest zbiór liczb pierwszych bliźniaczych.
  2. Na podstawie tej funkcji wyprowadzimy algorytm znajdujący te liczby.
  3. Wyprowadzimy funkcję podobną do funkcji Eulera.
  4. Zdefiniujemy funkcję zliczającą liczby bliźniacze nie większe od danej liczby n i na podstawie twierdzenia o funkcji Eulera wyprowadzimy dla niej wzór, analogicznie jak to zrobiliśmy dla funkcji π(n).
Analizując wyprowadzoną funkcję, możemy wykazać prawdziwość twierdzenia o lpB.

...